Холиварофорум

Анон

Re: Загадки и задачки

Тогда упс, формулу я смотрел в Вики. Если кто придумает альтернативное решение, несите)

Анон

Re: Загадки и задачки

Я придумал, но у меня способ работает только для небольших последовательностей, поскольку внутри рекуррентная подформула, и умножать в столбик надо полгода. Решаться оно явно должно не так.

▼Скрытый текст⬍

Вкратце: нам нужна сумма 100 чисел, каждое из которых больше предыдущего на последовательно 2 (второе), 3, 4, ..., 100 (сотое).
Т. е. 0 + (0+2) + (0+2+3) + (0+2+3+4) + ... + (0+2+3+4+...+99+100).
Тут 100 раз встречается как слагаемое 0, 99 раз двойка, 98 — тройка и т. д. 99 попадётся только дважды, сотня — только один раз, в последних скобках.
Итого (за вычетом нулей) 2*99 + 3*98 + 4*97 + ... + 98*3 + 99*2 + 100. Каждое слагаемое, кроме 100, встречается дважды, значит:
2*2*99 + 2*3*98 + 2*4*97 + ... 2*49*52+ 2*50*51 +100 = 2* [2*(100-1) + 3*(100-2) + 4*(100-3) + ... +50*(100-49)] +100 =
= 2* [2*100 + 3*100 + ... +50*100 - 2*1 - 3*2 - 4*3 - ... - 50*49] +100 = 2*100*(2+3+...+50) - 2*(1*2+2*3+4*3+...49*50) +100.

Первое считается элементарно, сумма 49 чисел подряд от 2 до 50 — это (2+50)+(3+49)+(4+48)+...+(24+28)+(25+27)+26 = 52*24+26 = 1274 (вообще это сумма арифметической прогрессии, но я дебил и помню только принцип). Итого 2*100*1274=254800. Можно сразу прибавить 100 из хвоста формулы, итого 254900.

Но вот как посчитать 1*2+2*3+4*3+...49*50?
Я подумал, что, если найти середину этой последовательности и принять за х, то получится ... + (х-2)(х-1) + (х-1)х + х(х+1) + (х+1)(х+2) + ... = ... x^2 - 2x - x + 2*1 + x^2 - x +  x^2 + x + x^2 + 2x + x + 2*1 ...
Все иксы посокращаются, останутся только икс-квадраты и чиселки.
Если я не напутал, где середина (х=25), то 1*2+2*3+4*3+...49*50 =
= (25-24)*(25-23)+(25-23)*(25-22)+...+(25-1)*25+25*(25+1)+...+(25+23)*(25+24)+ 49*50. Это 24 пары и одинокие 49*50.
= 49*50 + (25^2)*48 + (24*23+23*22+...+2*1+1*2+...+22*23+23*24) = 49*50 + 25*25*4*4*3 + 2*(1*2+2*3+...+23*24)=
= 50*50 - 50 +100*100*3 + 2*(1*2+2*3+...+23*24) = 2500 - 50 + 30000 + 2*(1*2+2*3+...+23*24) = 32450 + 2*(1*2+2*3+...+23*24).
Задача сводится к решённой выше, только последовательность упополамилась, и ещё через пару итераций того же алгоритма мы придём к считаемому ручками выражению:
1*2+2*3+...+23*24 = (12-11)*(12-10)+...+(12-1)*12 + 12*(12+1) + ... + (12+10)(12+11) + одинокие 23*24 =
= 23*24 + (12^2)*22 + (11*10+10*9+...+2*1+1*2+...+10*11) = 23*24 + 12*12*2*11 + 2*(1*2+2*3+4*3+...10*11) =
= 23*24 + 12*24*11 + 2*(1*2+2*3+4*3+...10*11) = (23+132)*24 + 2*(1*2+2*3+4*3+...10*11) =
= 155*24 + 2*(1*2+2*3+4*3+...10*11) = 3720 + 2*(1*2+2*3+4*3+...10*11)
1*2+2*3+4*3+...10*11 = (6-5)(6-4)+...+(6-1)*6+6*(6+1)+...+(6+4)(6+5) тут все по парам =
= (6^2)*10 + 2*(5*4+4*3+3*2+2*1) = 360 + 2*(20+12+6+2) = 360 + 2*40 = 440

Возвращаемся и складываем.
1*2+2*3+...+23*24 = 3720 + 2*(1*2+2*3+4*3+...10*11) = 3720 + 2*440 = 3720+880 = 4600
1*2+2*3+4*3+...49*50 = 32450 + 2*(1*2+2*3+...+23*24) = 32450 + 2*4600 = 32450 + 9200 = 41650
2*100*(2+3+...+50) - 2*(1*2+2*3+4*3+...49*50) +100 = 254800 - 2*41650 + 100 = 254900 - 83300 = 171600.
О, а тут сошлось! А когда я на бумажке считал, то нет 

Анон

Re: Загадки и задачки

Тогда упс, формулу я смотрел в Вики. Если кто придумает альтернативное решение, несите)

Ну формулу и вывести можно при некоторых смутных воспоминаниях:

▼Вывод формулы⬍

i-е треугольное число это i * (i + 1) /2 = (i^2 +  i)/2.
То есть нам фактически надо посчитать сумму квадратов так как сумма 1 + 2 + ... + n это опять-таки n * (n+1) / 2.

Дальше смутное воспоминание говорит, что сумма квадратов это кубический полином, то есть 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = x * n^3 + y * n^2 +z * n + t.
Добавляем к обеим частям (n+1)^2, получаем что
x * (n+1)^3 + y * (n+1)^2 + z * (n+1) + t = x * n^3 + y*n^2 + z*n + t + (n+1)^2
(левая часть из индукции).
раскрываем скобки и переносим правую часть кроме  (n+1)^2 налево:
3*x*n^2+3*x*n + x + 2*y*n + y + z = n^2+2*n+1
Отсюда система уравнений:
3x=1
3x+2y=2
x+y+z=1

отсюда x=1/3, y=1/2, z=1/6
t находим из формулы для n=1
1 = 1/3 + 1/2 + 1/6 + t
=> t = 0
то есть 1^2+2^2+...+n^2=n^3/3+n^2/2+n/6

итого сумма первых n треугольных чисел это
(n^3/3+n^2/2+n/6+n^2/2+n/2)/2=(2n^3+3n^2+n+3n^2+3n)/12=
=(2n^3+6n^2+4n)/12=(n^3+3n^2+2n)/6=((n+1)^3-n-1)/6=n*(n+1)(n+2)/6

Анон

Re: Загадки и задачки

Тут анон помотрел на красивые формулы sum(j,j=1..n)=n(n+1)/2 и sum(j*(j+1)/2, j=1..n)=n(n+1)(n+2)/6 и сформулировал задачку.

Определим последовательности S(0), S(1),...,S(k) так:
1. S(0) - натуральный ряд, S(0)[n]=n
2. S(k+1)[n]=sum(S(k)[j],j=1..n), то есть S(1) - треугольные числа, S(2) - суммы треугольных чисел, S(3) - суммы сумм, и.т.д.
Доказать, что S(k)[n] = n(n+1)...(n+k)/(k+1)!

▼Доказательство⬍

Индукция по k:
1. k = 1, S(1)[n]=n(n+1)/2, верно
2. пусть верно для k=1...t, тогда для k=t+1
S(t+1)[n]=sum(j(j+1)...(j+t)/(t+1)!,j=1...n) должно быть равно n(n+1)...(n+t+1)/(t+2)!
3. теперь индукция по n:
3.1 n=1, S(t+1)[1]=1*2*...*(t+1)/(t+1)!=1=1*2*...*(t+2)/(t+2)!
3.2 пусть верно для n=m,
тогда (m+1)(m+2)...(m+t+1)/(t+1)!=S(t+1)[m+1]-S(t+1)[m]=(m+1)(m+2)...(m+t+1)(m+t+2)/(t+2)!-m(m+1)...(m+t+1)/(t+2)!=(m+1)(m+2)...(m+t+1)(m+t+2-m)/(t+2)!, верно.

Анон

Re: Загадки и задачки

внутри рекуррентная подформула, и умножать в столбик надо полгода.

Бро, я тоже так начал, но пасанул перед количеством умножений. А ты молодец, довел до конца и получил ответ!

Ну формулу и вывести можно при некоторых смутных воспоминаниях:

А ты силен

Анон

Re: Загадки и задачки

Аноны, халп, как это решать  Это все тот же мат. конкурс, по идее должно решаться минут за 10-15 без калькулятора 
https://fsjm.ch/static/archives/22_30_C … stions.pdf Задание 12 (на немецком)
Вольный перевод -

Маттиас играет в бильярд на прямоугольном столе размера 2.03м * 3.03м.
У его шара диаметр 6см, шар лежит прямо с краю в середине длинной стороны стола.
Маттиас пускает шар катиться под углом в 45 градусов и не закручивая его.
Если мы предположим, что шар катился достаточно быстро, то как далеко будет расположен центр шара от своего изначального местоположения, в тот момент, когда шар отразится (отскочит от бортика) в 59-й раз?
Ответ дайте, окгруглив до сантиметров. Если понадобится, замените √2 на 1.414, √5 на 2.236, √10 на
3.162, √13 на 3.606, √17 на 4.123.

▼Ответ без объяснений⬍

186см

Но как?( Ни одной идеи, не будешь же правда сидеть 60 раз высчитывать точку попадания и разницу новых сторон за 10 минут в уме.

Анон

Re: Загадки и задачки

Но как?( Ни одной идеи, не будешь же правда сидеть 60 раз высчитывать точку попадания и разницу новых сторон за 10 минут в уме.

А ты пробовал прочертить хотя бы первые пробеги? Мне первым делом в голову приходит, что шар в какой-то момент зациклится, причём это произойдёт довольно скоро, и тогда можно будет просто посчитать длину первых нескольких пробегов и домножить на нужное число раз. Сейчас попробую обсчитать, но чисто по числам кажется, что собака зарыта где-то тут.

Отредактировано (2021-08-27 03:22:46)

Анон

Re: Загадки и задачки

В общем,

▼Скрытый текст⬍

да, он зациклится, десятый отскок будет происходить в точке пуска, соответственно, у нас пройдёт шесть полных циклов за вычетом последнего пробега. Но правильный ответ у меня не получается, хоть убей, уже минут пятнадцать ковыряюсь  

Не знаю, возможно, проблема в том, что шарик я рассматриваю как материальную точку, движущуюся на столе 2х3, хотя там другие размеры. Но я посчитал-прикинул и вроде так рассматривать его можно. Однако не исключено, что я объебался и всё же нельзя, хотя тогда я в упор не вижу, в чём заключается красота задачи — и, что даже важнее, как её решить за 10 минут без калькулятора.

Анон

Re: Загадки и задачки

Я решил =/ Просидел еще часа три, это было уже дело принципа 

▼Скрытый текст⬍

Именно, зациклится, но 10-й отскок произойдет на 6 см левее точки пуска. Соотвественно, 59-й на 30см выше 9-й точки отскока на левой стороне.
Точки:
(151.5 ; 3)
(300 ; 151.5)
(251.5 ; 200)
(54.5 ; 3)
(3 ; 54.5)
(148.5 ; 200)
(300 ; 48.5)
(254.5 ; 3)
(57.5 ; 200)
(3 ; 145.5)
(145.5 ; 3)
.
.
.
59-я точка:
(3 ; 115.5)

Тоже абсолютно не понял, в чем красота. За 10 минут нуууу чисто теоретически можно, если с первого раза учесть радиус шара и ни разу не ошибиться в вычислениях без калькулятора. Но все равно я ожидал чего-то более элегантного.
Анон, принесший задачу

Анон

Re: Загадки и задачки

Кому интересно - https://fsjm.ch/en/competitions/owmc/
28 августа будет онлайн математический конкурс. Надо будет решить 16-18 задачек, не требующих глубоких математических знаний за 3 часа. Регистрация до 21 августа.

Анон сходил, написал (как узнать свои результаты, если ты не попал в табличку лидеров?) и потом посмотрел разбор. Мне кажется, слова "без калькулятора и гугла" мы понимаем немного не так, как их понимают организаторы. Например в одном решении встретилась дивная фраза "а теперь сравниваем таблицу квадратов и двойных квадратов для n<1500".

Отредактировано (2021-08-28 19:57:55)

Анон

Re: Загадки и задачки

Меня сюда из флуда отправили. Я сегодня полчаса пытался понять как это разгадать:

▼Скрытый текст⬍

Получиться должно слово/несколько слов. Может, тут кто-то поймет.

Анон

Re: Загадки и задачки

Получиться должно слово/несколько слов.

У меня только предположение, что владелец говнарь разгадка "pushking"
https://pesni.guru/text/pushking-%D0%B4 … 0%B0%D0%BC
Но это было бы подло 

Анон

Re: Загадки и задачки

Но это было бы подло 

Если ответ - pushking, это не просто подло, это архиподло! Дело в том что разгадка - пароль от вайфая.

Анон

Re: Загадки и задачки

Если ответ - pushking, это не просто подло, это архиподло! Дело в том что разгадка - пароль от вайфая.

А что на печати написано?

Анон

Re: Загадки и задачки

Получиться должно слово/несколько слов. Может, тут кто-то поймет.

Я принял вызов! Но ответ неутешительный 
По фрагменту печати нашел, что это загадка про пароль сочинского паба Old Boys Pub
Гуглил, ответа не нашел, но нашел, что там рядом ресторан "Амстердам".
https://sochi.allcafe.ru/catalog/raion-adlerskiy/
Так что сильно предполагаю, что все в этой загадке такое и разгадать это можно только там, зная какие-то детали местности.

Анон

Re: Загадки и задачки

Получиться должно слово/несколько слов. Может, тут кто-то поймет.

Я принял вызов! Но ответ неутешительный 
По фрагменту печати нашел, что это загадка про пароль сочинского паба Old Boys Pub
Гуглил, ответа не нашел, но нашел, что там рядом ресторан "Амстердам".
https://sochi.allcafe.ru/catalog/raion-adlerskiy/
Так что сильно предполагаю, что все в этой загадке такое и разгадать это можно только там, зная какие-то детали местности.

Похоже это начало квеста: на фото видно, что барная стойка украшена номерами машин: https://yandex.ru/maps/-/CCUqaNU1gD скорее всего нужно искать нидерландские номера.